L'algèbre est une des principales assises sur lesquelles se sont bâties les mathématiques. Tout mathématicien doit disposer d'une solide formation et de vastes connaissances en algèbre; à l'issuede sa formation, il doit être en mesure de jongler avec des concepts abstraits et de manipuler avec aisance les expressions algébriques, ce qui requiert de lui une pratique soutenue de l'algèbre tout au long de ses études universitaires. Au-delà de la rigueur mathématique, il doit développer une bonne « intuition algébrique ». C'est dans cette optique qu'a été écrit le manuel Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps.

L'ouvrage couvre la totalité de la matière ordinairement enseignée dans les cours d'algèbre de premier cycle universitaire, sauf pour l'algèbre linéaire élémentaire. N'exigeant du lecteur que peu de connaissances préalables, il présente une matière vivante et organisée pour que celui-ci, qu'il soit étudiant ou autodidacte, acquière des compétences solides en algèbre et ce, de manière agréable et efficace. Les sujets choisis - groupes, anneaux, modules et corps - permettent d'atteindre les objectifs visés tout en mettant en valeur la beauté intrinsèque de l'algèbre. La théorie est enrichie de nombreux exemples et de plus de 1300 exercices de tous niveaux de difficulté. S'y ajoutent des vignettes historiques présentant plusieurs des personnalités marquantes de l'algèbre.

Le livre Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps constitue un outil précieux pour tout étudiant francophone en mathématiques en raison de l'étendue de la matière qu'il couvre, de la quantité et du niveau des exercices qu'il propose, et enfin, du fait que toutes les démonstrations y sont présentées en détail.

C'est aussi un manuel de référence complet tant pour les étudiants universitaires que pour les autodidactes qui, dans le cadre d'un cours ou pour le simple plaisir, veulent se plonger dans l'univers fascinant de l'algèbre.

TRAITEMENT DU SUJET

Après un rappel des notions préliminaires (ensembles, relations, applications, récurrence, arithmétique, nombres complexes), la première partie, qui porte sur les groupes, culmine avec les théorèmes d'isomorphisme.

La deuxième partie, portant sur les anneaux, traite d'abord de généralités, puis des théorèmes d'isomorphisme; les anneaux de polynômes, quant à eux, occupent un chapitre complet, incluant les polynômes symétriques; viennent enfin les anneaux principaux.

La troisième partie concerne les modules, et notamment la caractérisation des modules de type fini sur un anneau principal, les applications aux groupes abéliens et le calcul des formes canoniques d'une matrice.

Après l'étude des groupes résolubles, la dernière partie traite des corps finis, de la théorie de Galois et de la résolubilité d'une équation par radicaux.